INTEGRAL TAK TENTU

1. PEMAKAIAN INTEGRAL TAK TENTU

Integral tak tentu dapat digunakan untuk menyelsaikan permasalahan persamaan dibawah ini

1. Untuk menentukan suatu fungsi jika turunan fungsinya diberikan

Contoh 1 : Diketahui f ‘(x) = 5x – 3 dan f(2) = 18. Tentukan f(x) !

Penyelesaian :

Jadi

Contoh 2 : Jika gradien garis singgung di titik (x,y) pada sebuah kurva yang melalui titik (3,4) ditentukan , maka tentukan persamaan kurva tersebut !

Penyelesaian :

Jadi f(x) =

2. Untuk menentukan posisi, kecepatan, dan percepatan suatu benda pada waktu tertentu . misalkan s menyatakan posisi benda, kecepatan benda dinyatakan dengan v , dan percepatan benda dinyatakan dengan a . hubungan antara s,v, dan a adalah sebagai berikut :

Contoh soal

Sebuah benda bergerak pada garis lurus dengan percepatan yang memenuhi persamaan dalam dan t dala detik. Jika kecepatan awal benda dan posisi benda saat adalah , maka tentukan persamaan posisi benda tersebut saat t detik

Jawab:

Kecepatan awal benda , artinya saat nilai

Sehingga

untuk

Jadi persamaan posisi benda tersebut t detik dirumuskan

2. INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

Untuk memahami integral dari fungsi trigonometri, dibutuhkan pemahaman yang baik mengenai turunan trigonometri. Agar kamu lebih memahaminya, perhatikan label turunan fungsi trigonometri berikut :

Tabel Turunan Fungsi Trigonometri

Berdasarkan tabel tersebut, rumus dasar pengintegralan trigonometri adalah sebagai berikut.

Contoh : tentukan

Penyelesaian :

Perkalian sin dan cos dengan sudut berbeda

Contoh soal

1. 
2. =…?
3. =…?

Jawab

1. 

=

2. =…?

3. =…?

3. INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI

Aturan integral substitusi seperti tertulis pada teorema. Aturan ini digunakan untuk memecahkan masalah pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan dengan rumus-rumus dasar yang sudah dipelajari.

Cara menentukan integral dengan menggunakan cara substitusi-1 yaitu dengan mengubah bentuk integral tersebut ke bentuk lain dengan notasi lain yang lebih sederhana sehingga mudah menyelesaikannya. Cara ini digunakan jika bagian yang satu ada kaitan turunan dari bagian yang lain.

Contoh 1

1. 

Misalkan

2. 

Misalkan

3. 

Misalkan

=

=

=

=

Contoh 2:

Hitunglah integral dari

a. b.

Penyelesaian:

a.

misalkan u = 9 - x², maka du = -2xdx

dx=

=

=

=

=

Jadi, =

b.

misalkan u = 1 - 2x², maka du = -4xdx

dx =

=

=

=

Jadi =

4. INTEGRAL PARSIAL

Bagaimana jika dua bagian pada suatu integral tidak ada kaitan turunan antara bagian yang satu dengan bagian lainnya ? Untuk itu perlu ada cara lain untuk menyelesaikannya yaitu dengan integral parsial.

Seperti telah kita ketahui pada turunan jika y = uv maka y ‘ =u ’ v + uv ’. Jika kita integralkan kedua ruas, maka akan didapat :

Rumus di atas sering disingkat dengan :

Contoh 1 : Tentukan :

Penyelesaian : a. Misal 2x = u maka 2 dx = du

Misal dv =

b. Misal x = u maka dx = du

Misal dv = sin x dx maka v = -cos x

Contoh 2

1. 
2. 

Jawab

1. 

Misal

Jadi:

=

=

=

2. 

Misalkan

u=2x du=2

dv= v==

=

=

=

=

BAB III

KESIMPULAN

Integral merupakan antiturunan, sehingga jika terdapat fungsi F(x) yang kontinu pada interval [a, b] diperoleh = F’(x) = f(x). Antiturunan

dari f(x) adalah mencari fungsi yang turunannya adalah f (x), ditulis  f(x) dx

Secara umum dapat kita tuliskan :

∫ f(x) dx = ∫F’(x) dx = F(x) + C